Vetenskap

Skönheten i geometriska fasta ämnen: En introduktion

Skönheten i geometriska fasta ämnen: En introduktion


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Om du någonsin har besökt Walt Disney World i Florida har du utan tvekan sett den geodesiska kupolen som heter Spaceship Earth på Epcot. Det är uppkallat efter en av termerna som blev kända av den amerikanska arkitekten Buckminster Fuller; en term som uttryckte hans syn på världen och dess resurser.

RELATERADE: 7 VÄGAR FÖR ATT ANVÄNDA DIN GEOMETRISKA FÄRDIGHETER FÖR ATT INBYGGA PRESENTERAR DENNA FERIESÄSONG

Det var Fuller som populariserade den geodesiska kupolen som en arkitektonisk funktion. Formen är baserad på geodetisk polyeder, som är en klass av geometrisk solid. Geodetiska polyedrar är konvexa polyeder som består av trianglar. De har vanligtvis icosahedral symmetri, som består av 20 liksidiga triangulära ytor anordnade runt ytan på en sfär.

En annan känd form uppkallad efter Fuller är kolmolekylen (C60) buckminsterfullerene, som har formen av en trunkerad Icosahedron som liknar en fotboll. Den är gjord av 20 hexagoner (a 6-sidig polygon) och 12 pentagoner (a 5-sidig polygon).

Tre forskare, Harold Kroto, Robert Curl och Richard Smalley, tilldelades 1996 romanpriset i kemi för sin upptäckt av klassen fullerener, som inkluderar buckminsterfullerene.

Geometriska fasta ämnen kan delas upp i två klasser: Polyhedra och Icke-polyeder. Polyhedra har platt ansikten, eller sidor, och exempel inkluderar kuber och pyramider. Icke-polyhedra har inte plana ytor, och exempel inkluderar sfär, cylinder, torus och kon. Låt oss först undersöka icke-polyederna.

Sfär

Liksom dess 2D-motsvarighet, cirkeln, definieras en sfär som uppsättningen punkter, i 3-dimensionellt utrymme, som har samma avstånd r från en viss punkt (mitten), där r är sfärens radie. De diameter av en sfär är dubbelt så lång som dess radie.

De volym av ett geometriskt fast ämne är mängden utrymme som finns i figuren, medan ytarea av ett geometriskt fast ämne är omfattningen av figurens utsida eller hud.

Av alla geometriska fasta ämnen har en sfär den minsta ytan för en given volym. Naturen utnyttjar denna egenskap vid bildandet av vattendroppar och bubblor.

Sfärens volym bestäms av formeln:
V = 4 / 3πr3
var r är sfärens radie, och π är ungefär 3.14159.

Ytan på en sfär beräknas med formeln:
A = 4Πr2

Som ett exempel är jordens radie 3959 miles (6.378 km), så att vi kan beräkna jordens yta som:
A = 4 * Π * 3,9592 = 196,961,118 kvadrat miles.

Eftersom 71% av jordens yta är hav, som lämnar oss med 57.118.725 kvadratkilometer att leva på.

I verkligheten är jorden inte en sfär utan en sfäroiddet vill säga den är något platt vid stolparna. Jordens polära radie är 3950 mil (6 357 km), medan dess ekvatorialradie är 5963 mil (6.378 km).

Jorden är en oblat sfäroid, medan den välbekanta amerikanska fotboll är en prolat sfäroid. En halva sfär kallas a hemisfäroch på jorden är norra halvklotet från nordpolen till ekvatorn och från ekvatorn till sydpolen är den södra halvklotet.

Torus

För att beskriva en torus, tänk på formen på en munk eller ett inre rör. En torus definieras av två radier: r, som är radien för en liten cirkel som roteras längs en linje gjord av en större cirkel med radie R.

För att hitta volymen på en torus måste vi ta hänsyn till båda radierna:
V = (2ΠR) * (Πr2), som kan skrivas som:
V = 2 * Π2 * R * r2

För en torus som har r = 3 tum och R = 7 tum
V = 2 * Π2 * 7 * 32
V ≈ 1 244 kubikcentimeter

Ytan på en torus bestäms av formeln:
A = (2ΠR) * (2Πr), som kan skrivas som:
A = 4 * Π2 * R * r
Om vi ​​använder samma dimensioner som vi gjorde för volymen får vi:
A = 4 * Π2 * 7 * 3
A ≈ 829 kvadratmeter

Cylinder

Cylindrar är bekanta för oss från konserver, som kommer i cylindrar. Cylindrar finns i två allmänna typer: Rätt och Sned. Om de två ändarna av en cylinder är inriktade mot varandra anses det vara a Höger cylinder, annars är det en Sned cylinder.

Volymen på en cylinder bestäms av ytan på dess bas gånger dess höjd:
V = Π * r2 * h
Så för en burk bakade bönor som har en radie av 1,5 tum och en höjd av 4,5 tum, dess volym är:
V = 3,14159 * 2,25 kvm * ​​4,5 tum
V 31,8 kubikcentimeter
.

Ytan på en cylinder är summan av ytan på båda ändarna, vilket är:
2 * π * r2
plus sidoytans yta, vilket är:
2 * π * r * h
Därför är den totala ytan för en cylinder:
A = 2 * Π * r * (r + h)
För vår burk bakade bönor:
A = 2 * Π * 1,5 * 6
A 56,5 kvadrat tum
.

Kon

En kon är ett geometriskt fast ämne som har en cirkel i ena änden, kallad bas, och en punkt i andra änden, kallad apex. Som med cylindrar, när toppen är inriktad med mitten av basen, kallas konen a Rätt kon, annars kallas det en Sned kon.

Volymen på en kon bestäms av basens radie och höjden på dess topp:
V = 1/3 Π * r2 * h
En genomsnittlig glasskotte av våffeltyp har en radie på 2 tum och en höjd av 7 tum. För att ta reda på volymen glass som den kan hålla:
V = 1/3 * 3,14159 * 4 kvm * ​​7 tum
V 29,32 kubikcentimeter
.

Ytan på en kon bestäms genom att lägga till ytan på basen, vilket är:
π * r2
och området på konens sidor, vilket är:
π * r * s
var s är sned längd, vilket är avståndet från basen till toppen uppmätt längs objektets sida.
Därför är konens yta:
A = π * r * (r + s)
För en kon som har r = 2 och h = 7, skulle ytan på basen vara:
A = 3,14159 * 4
A ≈ 12,57

Sidans yta är:
A = π * 2 * √ (22 + 72)
A = π * 2 * √(4 + 49)
A = 2π√ (53)
A ≈ 45,74
A = 12,57 + 45,74 58,31 kvadrat tum
.

Om vi ​​jämför volymen på en cylinder och en kon som har samma storlek bas och höjd, är konvolymen exakt 1/3 den för cylindern. Det betyder att om glasskottar kom i cylindrar och inte kottar, skulle du få tre gånger så mycket glass. Jippie!

Polyhedroner

Nu när vi har granskat de icke-polyedriska geometriska fasta ämnena är det dags att ta en titt på polyhedronfasta ämnen. A polyeder är ett geometriskt fast ämne som har plana ytor, eller polygoner, som är 2D-figurer som har minst 3 raka sidor och vinklar. På grekiska betyder poly "många" och hedron betyder "ansikte".

Huvudtyperna av polyeder är:

  • Kuboider och kuber
  • Platoniska fasta ämnen
  • Prismer
  • Pyramider

Cuboids och Cubes

Cuboids är lådformade föremål som har 6 plana ansikten, och alla deras vinklar är rätta, eller 90 ° vinklar. Cuboids har en längd, a breddoch a höjd. När alla tre (längd, bredd och höjd) är desamma kallas en kuboid en kub, och var och en av dess ansikten är en fyrkant. En kub har 6 ansikten, 8 vertikaler och 12 kanter.

Vi bestämmer volymen på en kuboid med:
V = längd * bredd * höjd
Så för en låda med en längd på 10 tum, en bredd på 4 tumoch en höjd av 5 tum:
V = 10 * 4 * 5
V =
200 kubikcentimeter.
Det är bra att veta om du vill skicka ett paket.

Ytan på en kuboid bestäms av:
A = 2 * bredd * längd + 2 * längd * höjd + 2 * höjd * bredd
För lådan med en längd på 10 tum, en bredd på 4 tumoch en höjd av 5 tum:
A = 2 * 4 * 10 + 2 * 10 * 5 + 2 * 5 * 4
A = 220 kvadratmeter
.
Det här är också bra att veta om du vill packa in en låda.

De platoniska fasta ämnena

Uppkallad efter den antika grekiska filosofen Platon, det här är 3D-former där varje ansikte är ett vanlig polygon, det vill säga en polygon vars sidor är lika långa. Dessutom måste en platonisk fast substans ha samma antal polygoner som möts vid varje vertex, eller hörn. Det betyder att kuben vi just träffade ovan är en platonisk fast substans, eftersom var och en av dess ansikten är av samma storlek kvadrat, och 3 rutor träffas vid vart och ett av dess hörnpunkter ..

Tetraeder

En annan platonisk fast substans är Tetrahedron, som också är känd som en triangulär pyramid. Den består av 4 triangulära ansikten, 6 raka kanter och 4 toppar. Det är det enda platoniska fastämnet som inte har några parallella ansikten och är det enklaste av alla platoniska fasta ämnen.

När en Tetrahedron har alla ansikten av samma storlek och form, är det en Regelbunden tetraeder, annars är det ett Oregelbunden tetraeder.

Volymen av en tetraeder bestäms av:
V = √2 / 12 * (kantlängd)3
För en tetraeder med en kantlängd på 4 tum
V = 1,414 / 12 * 64
V 7,54 kubikcentimeter
.

Ytan på en tetraeder kan hittas av:
A = √3 * (kantlängd)2
så för vår tetraeder med en kantlängd på 4skulle dess yta vara:
A = 1.732 * 16
A = ≈ 27,71 kvadratcentimeter
.

Oktaeder

En oktaeder är som två fyrkantiga pyramider anslutna vid deras baser. Det har 4 trianglar som möts vid varje toppunkt, 8ansikten, 6hörn och 12 kanter.

Vi kan beräkna volymen för en oktaeder med:
V = (√2) / 3 * (kantlängd)3
För en oktaeder med en kantlängd på 4 tum, skulle dess volym vara:
V = 1,414 / 3 * 64
V ≈ 30,17 kubikcentimeter
.

Ytan på en oktaeder är:
A = 2 * √3 * (kantlängd)2
A = 2 * 1.732 * 16
A ≈ 55,42 kvadrat tum
.

Dodekaeder

Detta platoniska fasta ämne bildas när 3 pentagoner (5-sidig polygoner) möts vid varje toppunkt, har det 12 ansikten, 20 toppar och 30 kanter. En Dodekaeder får sitt namn från grekiska dodeca, vilket betyder 12.

Volymen på en Dodekahedron är:
V = (15 + 7 * √5) / 4 * (kantlängd)3
För en Dodekaeder som har en kantlängd på 4 tum, volymen skulle vara:
V = (15 + 7 * 2.236) / 4 * 64
V ≈ 490,43 kubikcentimeter
.

Formeln för att hitta ytan till en Dodekaeder är:
A = 3 * √ (25 + 10 * √5) * (kantlängd)2
A = 3 (25 + 22,36) * 16
A ≈ 330,33 kvadratmeter
.

Icosahedron

Det mest komplexa av de platoniska fasta ämnena, vid vart och ett av dess hörnpunkter, 5 tranglar träffas har Icosahedron 20 ansikten var och en är en liksidig triangel (en triangel med 3 lika sidor och 3 lika vinklar av 60°), 12 toppar och 30 kanter.

Icosahedron kan vara bekant för dig från att spela spel som använder 20-sidiga tärningar, och moder natur har tydligen också en förkärlek för denna form, eftersom det yttre skalet av humant papillomvirus är en Icosahedron.

Volymen av en Icosahedron bestäms av formeln:
V = 5 * (3 + √5) / 12 * (kantlängd)3
så för en Icosahedron med en kantlängd på 4 tum, skulle dess volym vara:
V = 5 (5,236) / 12 * 64
V ≈ 139,63 kubikcentimeter
.

Formeln för beräkning av en yta av en Icosahedron är:
A = 5 * √3 * (kantlängd)2
A ≈ 138,56 kvadratmeter
.

Prismer

Ett prisma är ett geometriskt fast ämne med identiska ändar, plana ytor och samma tvärsnitt längs dess längd. De två ändarna av ett prisim kallas dess baseroch ansikten på ett prisma är alla parallellogram (en 2D-figur vars motsatta sidor är parallella och lika, och vars motsatta vinklar är lika).

Enligt denna definition är kuboid och kuber vi träffade ovan prismor, men du kan också ha triangulära, femkantiga och sexkantiga prismer, vars tvärsnitt är en triangel, femkant och sexkant.

Tvärsnitt av Vanliga prismer har lika kantlängder och lika vinklar, medan tvärsnitten av Oregelbundna prismer har ojämna kantlängder och ojämna vinklar.

Om basen på ett prisma är inriktad med varandra sägs prismen vara a Rätt prisma, om baserna inte är inriktade mot varandra, sägs det vara ett Sned prisma.

Vi kan bestämma volymen på ett prisma genom att:
Volym = Basarea * Längd
För ett triangulärt prisma med en basarea på 25 kvadratmeter och en längd på 10 tum, skulle dess volym vara:
V = 25 kvm * ​​10 tum
V = 250 kubikcentimeter.

Vi kan hitta ytan på ett triangulärt prisma genom att:
2 * Basarea + Basomfång * Längd
Om vi ​​använder exemplet ovanifrån har vårt triangulära prisma en basarea på 25 kvadratmeter, en längd på 10 tumoch en basomkrets på 24 tum:
A = 2 * 25 kvadrat tum + 24 tum * 10 tum
A = 290 kvadratcentimeter

Pyramider

En pyramid definieras genom att ha en bas som är en polygon, en topp och ansikten som är trianglar. De berömda pyramiderna på Egyptens Giza-platå är faktiskt Fyrkantiga pyramider eftersom deras baser är kvadratiska. Du kan också ha en pyramid med en triangulär bas som kallas en triangulär pyramid och en pyramid med en femkant som bas kallas en femkantig pyramid.

Om en pyramidens topp är direkt över mitten av basen sägs den vara en Höger pyramid. Om toppunkten inte är över mitten av basen sägs den vara en Sned pyramid.

Volymen på en pyramid bestäms av:
V = 1/3 * Basarea * höjd
Låt oss bestämma volymen på Khufu-pyramiden, den största av de tre Giza-platåpyramiderna. Längden på varje sida av basen är 756 fot eller 230,34 meter. Därför är dess basarea 571,536kvadratfot eller 53,056.5kvadratmeter. Den stora pyramidens höjd är 455 fot eller 138,7 meterdärför är volymen för den stora pyramiden:
V = 1/3 * 571 536 kvm * ​​455 fot
V = 86,682,960 kubikfot

Det är mycket utrymme för farao Khufu, som är begravd i pyramiden.

Ytan på en pyramid har två delar: Basarea och den Sidoområde. För en oregelbunden pyramid måste du lägga samman området för var och en av dess triangulära ytor för att hitta dess yta, men för en vanlig pyramid kan vi hitta sidoområdet genom att:
A = (omkrets * lutande längd) / 2
För den stora pyramiden vars baslängd är 756 fot, dess omkrets är 3024 fot och dess sneda längd är 612 fot eller 186,42 meter. Därför är den stora pyramidens sidoyta:
A = (3024 * 612) / 2
vilket är 925,344 kvadratfot.

Hundratals geometriska fasta ämnen

Det är väl över 100 andra geometriska fasta ämnen vars skönhet är obestridlig, och du kan se dem i aktion, roterande i 3-utrymme, på webbplatsen Math is Fun. Njut av!


Titta på videon: Huden (Oktober 2022).